תרגול זהויות מבגרות 571: חורף 2022, סעיפים ג ו־דטריגונומטריה 571 · שיעור 46
📄 נוסח השאלה
AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
המיתר CD חותך את הקוטר AB בנקודה F.
המשיק למעגל בנקודה D חותך את המשך הקוטר AB בנקודה E, כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∢ADE = x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)
א. הוכיחו: ∢BAD = 90 − x. (פתרנו בשיעור 33)
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. הביעו באמצעות R ו־x את שטח המשולש AFD.
ד. (1) הביעו באמצעות x את היחס בין שטח המשולש AFD לשטח המשולש AED.
(2) נתון כי היחס שמצאתם בתת־סעיף ד(1) הוא 1 + √3. מצאו את x.
סעיף ג – שטח המשולש AFD
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 33):
סעיף א – הוכחה: הוכח
סעיף א – הוכחה: הוכח
הצלע AD במשולש ישר הזווית ABD (היתר AB = 2R):
AD = AB · sin ∢ABD
📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זווית
נציב AB = 2R ו־∢ABD = x (סעיף א, זווית בין משיק למיתר):
AD = 2R · sin x = 2R sin x
הזוויות במשולש AFD:
📐 נוסחה: סינוס במשולש ישר זווית
sin x = ניצב מול הזוויתיתר
סעיף ג – שטח המשולש AFD · המשך
הזוויות במשולש AFD:
∢FAD = 90 − x , ∢ADF = 3x
∢AFD = 180 − ∢FAD − ∢ADF
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
נציב ∢FAD = 90 − x ו־∢ADF = 3x:
∢AFD = 180 − (90 − x) − 3x
∢AFD = 90 − 2x
📐 משפט: סכום זוויות במשולש
סכום הזוויות במשולש 180 מעלות
סעיף ג – שטח המשולש AFD · המשך
∢AFD = 90 − 2x
הצלע DF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
DFsin ∢FAD = ADsin ∢AFD
📐 משפט: משפט הסינוסים
נציב ∢FAD = 90 − x , AD = 2R sin x ו־∢AFD = 90 − 2x:
DFsin(90 − x) = 2R sin xsin(90 − 2x)
DF = 2R sin x cos xcos 2x
📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זווית
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C
📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זווית
sin(90 − x) = cos x
סעיף ג – שטח המשולש AFD · המשך
DF = 2R sin x cos xcos 2x
📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זווית
DF = R sin 2xcos 2x
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
השטח:
SAFD = 12 · AD · DF · sin ∢ADF
📐 נוסחה: שטח משולש
נציב AD = 2R sin x , DF = R sin 2xcos 2x ו־∢ADF = 3x:
SAFD = 12 · 2R sin x · R sin 2xcos 2x · sin 3x
📐 נוסחה: סינוס של 90 פחות זווית
sin(90 − x) = cos x
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
sin 2x = 2 sin x cos x
📐 נוסחה: שטח משולש
S = 12 · a · b · sin C
סעיף ג – שטח המשולש AFD · המשך
SAFD = 12 · 2R sin x · R sin 2xcos 2x · sin 3x
SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x
✅ פתרון סופי: SAFD = R2 sin x · sin 2x · sin 3xcos 2x
סעיף ד (1) – היחס בין השטחים
למשולשים AFD ו־AED אותו גובה מהקודקוד D לישר EF, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:
SAFDSAED = AFAE
📐 נוסחה: שטח משולש
AF – משפט הסינוסים במשולש AFD:
AFsin∢ADF = ADsin∢AFD
📐 משפט: משפט הסינוסים
נציב ∢ADF = 3x ו־∢AFD = 90 − 2x:
AFsin 3x = ADsin(90 − 2x)
📐 נוסחה: שטח משולש
S = a · ha2
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C
סעיף ד (1) – היחס בין השטחים · המשך
AFsin 3x = ADsin(90 − 2x)
AF = AD · sin 3xcos 2x
AE – משפט הסינוסים במשולש AED (∢AED = 90 − 2x):
AEsin∢ADE = ADsin∢AED
📐 משפט: משפט הסינוסים
נציב ∢ADE = x ו־∢AED = 90 − 2x:
AEsin x = ADsin(90 − 2x)
📐 משפט: משפט הסינוסים
asin A = bsin B = csin C
סעיף ד (1) – היחס בין השטחים · המשך
AEsin x = ADsin(90 − 2x)
AE = AD · sin xcos 2x
נציב את AF ואת AE שמצאנו, ונצמצם:
AFAE = AD · sin 3xcos 2xAD · sin xcos 2x = sin 3xsin x
✅ פתרון סופי: SAFDSAED = sin 3xsin x
סעיף ד (2) – מציאת x
נכתוב 3x = 2x + x, כדי שנוכל להשתמש בסינוס של סכום זוויות ובזווית כפולה:
sin 3x = sin(2x + x)
📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויות
sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x
נציב sin 2x = 2sin x cos x:
sin 3x = 2 sin x cos2x + cos 2x sin x
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
sin 3xsin x = 2cos2x + cos 2x
📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויות
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה
sin 2x = 2 sin x cos x
סעיף ד (2) – מציאת x · המשך
sin 3xsin x = 2cos2x + cos 2x
נציב 2cos2x = 1 + cos 2x:
sin 3xsin x = (1 + cos 2x) + cos 2x
📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולה
sin 3xsin x = 1 + 2cos 2x
נציב את היחס הנתון 1 + √3:
1 + 2cos 2x = 1 + √3
📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולה
cos 2x = 2cos2x − 1
סעיף ד (2) – מציאת x · המשך
1 + 2cos 2x = 1 + √3
cos 2x = √32
הזווית ∢AED = 90 − 2x חיובית, ולכן 0 < 2x < 90:
2x = 30
x = 15
✅ פתרון סופי: x = 15 מעלות
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
R2 sin x sin 2x sin 3xcos 2x
סעיף ד (1)
sin 3xsin x
סעיף ד (2)
x = 15
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא